Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于點E，連結AD、CD．

（1）求證：△MED∽△BCA；

（2）求證：△AMD≌△CMD；

（3）設△MDE的面積為S1，四邊形BCMD的面積為S2，當S2=S1時，求cos∠ABC的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）cos∠ABC=.

【解析】

（1）易證∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，從而可證明△MED∽△BCA；

（2）由∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，可知MB=MC=AM，從而可證明∠AMD=∠CMD，從而可利用全等三角形的判定證明△AMD≌△CMD；

（3）易證MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以，所以S△MCB=S△ACB=2S1，從而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1，由于，從而可知，設ME=5x，EB=2x，從而可求出AB=14x，BC=，最后根據銳角三角函數的定義即可求出答案．

（1）∵MD∥BC，

∴∠DME=∠CBA，

∵∠ACB=∠MED=90°，

∴△MED∽△BCA；

（2）∵∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，

∴MB=MC=AM，

∴∠MCB=∠MBC，

∵∠DMB=∠MBC，

∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，

∵∠AMD=180°﹣∠DMB，

∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC，

∴∠AMD=∠CMD，

在△AMD與△CMD中，

，

∴△AMD≌△CMD（SAS）；

（3）∵MD=CM，

∴AM=MC=MD=MB，

∴MD=2AB，

由（1）可知：△MED∽△BCA，

∴，

∴S△ACB=4S1，

∵CM是△ACB的中線，

∴S△MCB=S△ACB=2S1，

∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1，

∵，

∴，

∴，

設ME=5x，EB=2x，

∴MB=7x，

∴AB=2MB=14x，

∵，

∴BC=10x，

∴cos∠ABC=.