Question

【題目】如圖，在矩形中，，分別在，上.

（1）若，.

①如圖1，求證：；

②如圖2，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，的延長線交于，若，求證：；

（2）如圖3，若為的中點(diǎn)，.則的值為 （結(jié)果用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）

【解析】

（1）①由“ASA”可證△ADE≌△BAF可得AE=BF；

②過點(diǎn)A作AF⊥HD交BC于點(diǎn)F，由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠HAF=∠AFG=∠DAF，可得AG=FG，即可得結(jié)論；

（2）過點(diǎn)E作EH⊥DF于H，連接EF，由角平分線的性質(zhì)可得AE=EH=BE，由“HL”可證Rt△BEF≌Rt△HEF，可得BF=FH，由勾股定理可求解．

證明（1）①∵四邊形ABCD是矩形，AD=AB,

∴四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=90°=∠ABC，

∴∠DAF+∠BAF=90°，

∵AF⊥DE，

∴∠DAF+∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠BAF，且AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，

∴△ADE≌△BAF（ASA），

∴AE=BF；

②如圖，過點(diǎn)A作AF⊥HD交BC于點(diǎn)F，

由（1）可知AE=BF，

∵AH=AD，AF⊥HD，

∴∠HAF=∠DAF.

∵AD∥BC，

∴∠DAF=∠AFG，

∴∠HAF=∠AFG，

∴AG=GF，

∴AG=GB+BF=GB+AE；

（3）如圖，過點(diǎn)E作EH⊥DF于H，連接EF，

∵E為AB的中點(diǎn)，

∴AE=BE=AB，

∵∠ADE=∠EDF，EA⊥AD，EH⊥DF，

∴AE=EH，AD=DH=nAB，

∴BE=EH，EF=EF，

∴Rt△BEF≌Rt△HEF（HL），

∴BF=FH，

設(shè)BF=x=FH，則FC=BC-BF=nAB-x，

∵DF2=FC2+CD2，

∴（nAB+x）2=（nAB-x）2+AB2，

∴x==BF，

∴FC=AB，

∴=4n2-1.