Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點B，連接OC交⊙O于點E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點G．

（1）求證：點E是 的中點；
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）若AD=12，⊙O的半徑為10，求弦DF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖，

∵AD∥OC，

∴∠1=∠A，∠2=∠ODA，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ODA，

∴∠1=∠2，

∴ = ，即點E是 的中點

（2）證明：在△OCD和△OCB中

，

∴△OCD≌△OCB，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切線

（3）解：連接BD，

∵DF⊥AB，

∴DG=FG，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，BD= = =16，

∵ DGAB= ADBD，

∴DG= = ，

∴DF=2DG= ．

【解析】（1）連接OD，如圖，根據平行線的性質得∠1=∠A，∠2=∠ODA，加上∠A=∠ODA，所以∠1=∠2，然后根據圓心角、弧、弦的關系可判斷點E是 的中點；（2）先證明△OCD≌△OCB得到∠ODC=∠OBC=90°，然后根據切線的判定方法得到結論；（3）連接BD，先根據垂徑定理得到DG=FG，再利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則可根據勾股定理計算出BD，然后利用面積法計算出DG，從而得到DF的長．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和垂徑定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧才能正確解答此題．