Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB、AC引垂線，垂足分別為E、F點．

（1）當點D在BC的什么位置時，DE=DF？并證明．

（2）在滿足第一問的條件下，連接AD，此時圖中共有幾對全等三角形？并請給予寫出（不 必證明）．

（3）過C點作AB邊上的高CG，請問DE、DF、CG的長之間存在怎樣的等量關系？并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）當點D在BC的中點上時，DE=DF，證明見解析；（2）有3對全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD；（3）CG=DE+DF，證明見解析.

【解析】試題分析:(1)因為當△BED和△CFD時,DE=DF,所以當點D在BC中點時,可利用AAS判定△BED和△CFD全等,利用全等三角形的性質可得DE=DF,

(2)在(1)的結論下:DE=DF,BD=CD, 利用SSS可判定△ADB≌△ADC,

利用HL可判定△AED≌△AFD,利用AAS可判定△BED≌△CFD,所以有3對全等三角形.

(3)連接AD,根據三角形的面積公式即可求證.

（1）當點D在BC的中點上時,DE=DF,

證明:∵D為BC中點,

∴BD=CD,

∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵DE⊥AB,DF⊥AC,

∴∠DEB=∠DFC=90°,

∵在△BED和CFD中,

∴△BED≌△CFD（AAS）,

∴DE=DF．

（2）

有3對全等三角形,有△BED≌△CFD,△ADB≌△ADC,△AED≌△AFD,

（3）CG=DE+DF,

證明:連接AD,

因為,

所以,

因為AB=AC,

所以.