Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在邊BC上，E在線段DC上，DE=4，△DEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點M，邊EF交邊AC于點N．

（1）求證：△BMD∽△CNE；
（2）當BD為何值時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切？
（3）設BD=x，五邊形ANEDM的面積為y，求y與x之間的函數解析式及自變量x的取值范圍；當x為何值時，y有最大值？并求出y的最大值．

Answer 1

（1）通過證明角相等，從而證明△BMD∽△CNE。
（2）當BD=16﹣8時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切
（3）y=﹣（x﹣2）²+（0≤x≤4）
當x=2時，y有最大值，最大值為．

試題分析：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=∠FED=60°，
∴∠MDB=∠NEC=120°，
∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，
∴△BMD∽△CNE；
（2）過點M作MH⊥BC，
∵以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切，
∴MH=MF，
設BD=x，
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B，
∴DM=BD=x，
∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x，
在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°===，
解得：x=16﹣8，
∴當BD=16﹣8時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切；
（3）過點M作MH⊥BC于H，過點A作AK⊥BC于K，
∵AB=AC，
∴BK=BC=×8=4，
∵∠B=30°，
∴AK=BK•tan∠B=4×=，
∴S_△ABC=BC•AK=×8×=，
由（2）得：MD=BD=x，
∴MH=MD•sin∠MDH=x，
∴S_△BDM=•x•x=x²，
∵△DEF是等邊三角形且DE=4，BC=8，
∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x，
∵△BMD∽△CNE，
∴S_△BDM：S_△CEN=（）²=，
∴S_△CEN=（4﹣x）²，
∴y=S_△ABC﹣S_△CEN﹣S_△BDM=﹣x²﹣（4﹣x）²=﹣x²+2x+=﹣（x﹣2）²+（0≤x≤4），
當x=2時，y有最大值，最大值為．


點評：中考壓軸題，綜合性較強，難度較大，注意數形結合思想與方程思想的應用