Question

【題目】如圖，直線y＝－3x＋3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=a（x－2）2＋k經過點A、B，并與x軸交于另一點C，其頂點為P．

（1）求a，k的值；

（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使△ABM的周長最小，若存在，求出△ABM的周長；若不存在，請說明理由；

（3）若以AB為直徑畫圓，與拋物線的對稱軸交于點N，求出點N坐標．

Answer 1

【答案】（1）a，k的值分別為1，﹣1；（2），理由見解析；（3）點N的坐標為（2，2）或（2，1）

【解析】（1）由條件可先求得A、B坐標，代入拋物線解析式可求得a、k的值；
（2）由A、C關于對稱軸對稱，連接BC交對稱軸于點M，則M即為所求，由B、C可求得直線BC的解析式，可求得M點的坐標，容易求得其周長；
（3）可設N點坐標為（2，n），可分別表示出AB、AN、BN的長，由勾股定理可得到關于n的方程，可求得N點坐標．

（1）∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，

∴A（1，0），B（0，3）．

又∵拋物線拋物線y=a（x﹣2）2+k經過點A（1，0），B（0，3），

∴

解得

故a，k的值分別為1，﹣1；

（2）如圖1，存在這樣的點M.連接BC與對稱軸x=2的交點即為M點，這時△ABM的周長最小.

由拋物線對稱性可得，點C坐標為（3，0），

△ABM的周長＝AB+AM+BM

＝AB+BC

＝；

（3）如圖2，由題意，可設N點的坐標為（2，n），對稱軸x=2交x軸于點F，過點B作BE垂直于直線x=2于點E．

∵AB為所作圓的直徑，N為所作圓與直線x=2的交點，

∴∠ANB=90°.

在Rt△ANF中，AN2=AF2+NF2=1+n2，

在Rt△BNE中，BN2=BE2+EN2=4+（3﹣n）2，

由勾股定理，得到方程1+n2+4+（3﹣n）2=12+32，

化簡，得n2﹣3n +2=0，

解得 n1=2，n2=1，

∴點N的坐標為（2，2）或（2，1）．