Question

【題目】已知四邊形是菱形，的兩邊分別與射線相交于點，且

如圖1，當點是線段的中點時，求證：；

如圖2，當點是線段上任意一點時(點不與重合)，求證：；

如圖3，當點在線段的延長線上時，設交于點求證：．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）通過菱形可知AB=AD，∠B=∠D，然后通過是線段的中點，可知BE=DF，即可得到，從而可得到答案；

（2）連，通過條件去證即可得到；

（3）通過兩組對應角相等得到，然后得到，再由可得到AE=AF，從而得到答案．

∵四邊形是菱形，

∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，

∵是線段的中點，

∴BE=DF，

在和中

∴，

又

為等邊三角形

連，

∵四邊形是菱形，

∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，

∵，

∴△ABC是等邊三角形，同理△ADC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ACD=60°，AB=AC，

∴∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，

∴∠FAC=∠BAE，

在和中

∴

∴

∵四邊形是菱形，

∴AB∥CD，

∴，

又∵

∴

同（2）中方法可得，

即