Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D，E運動的時間是ts（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．

（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當t＝或12時，△DEF為直角三角形．

【解析】

（1）根據三角形內角和定理得到∠C＝30°，根據直角三角形的性質求出DF，得到DF＝AE，根據平行四邊形的判定定理證明；

（2）分∠EDF＝90°、∠DEF＝90°兩種情況，根據直角三角形的性質列出算式，計算即可．

（1）∵∠B＝90°，∠A＝60°，

∴∠C＝30°，

∴AB＝AC＝30，

由題意得，CD＝4t，AE＝2t，

∵DF⊥BC，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝2t，

∴DF＝AE，

∵DF∥AE，DF＝AE，

∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）當∠EDF＝90°時，如圖①，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠C＝30°，

∴AD＝2AE，即60﹣4t＝2t×2，

解得，t＝，

當∠DEF＝90°時，如圖②，

∵AD∥EF，

∴DE⊥AC，

∴AE＝2AD，即2t＝2×（60﹣4t），

解得，t＝12，

綜上所述，當t＝或12時，△DEF為直角三角形．