Question

【題目】如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．

（1）操作發現：如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，

①△ADC是　　　　　　　 三角形；

②設△BDC的面積為，△AEC的面積為，則與的數量關系是　　　　　　．

（2）猜想論證：當△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中與的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．

（3）拓展探究：如圖4，已知∠ABC＝60°，點D是角平分線上一點，且BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于點E．若在射線BA上存在點F，使S△DCF=S△BDE，請直接寫出相應的BF的長．

Answer 1

【答案】(1)①等邊；②S1＝S2；（2） ，理由見解析；（3）BF=或BF=

【解析】試題分析：（1）①根據AC=CD，∠BAC=60°，即可判定△ACD是等邊三角形；

②根據DE∥AC，可得S△ACE=S△ACD，根據點D是AB的中點，可得S△BDC=S△ACD，進而得到△BDC的面積和△AEC的面積相等，即S1=S2；

（2）先判定△ACN≌△DCM（AAS），得出AN=DM，再根據等底等高的三角形的面積相等可得，△BDC的面積和△AEC的面積相等，即S1=S2；

（3）先作EG⊥BD于G，延長CD交AB于H，根據等底等高的三角形的面積相等，可得EG=HF=，最后根據線段的和差關系，即可求得BF的長．

試題解析：（1）①∵△DEC繞點C旋轉，點D恰好落在AB邊上，

∴AC=CD，

∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，

∴△ACD是等邊三角形，②∵△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC，

∴根據同底等高的三角形面積相等，可得S△ACE=S△ACD，

∵∠B=30°，∠ACB=90°，

∴Rt△ABC中，AC=AB=AD，

∴點D是AB的中點，

∴S△BDC=S△ACD，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等，即S1=S2，

（2）如圖,

∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到,

∴BC=CE,AC=CD

,

,……… 6分

在△ACN和△DCM中,

,

,

∴AN=DM

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),

即

（3）BF=或BF=．

理由：如圖，作EG⊥BD于G，延長CD交AB于H，

∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，DE∥AB，

∴∠ABD=∠DBE=∠BDE=30°，

∴ED=EB，

∴BG=BD=2，

∴Rt△BEG中，GE=，

∵DB=DC=4，

∴∠BCD=∠DBC=30°，

∴∠ABC=60°，

∴∠CHB=90°，即CH⊥AB，

∵S△DCF=S△BDE，DB=DC，

∴△CDF中CD邊上的高等于，

當點F在HB上時，HF=，

又∵Rt△BDH中，DH=BD=2，∠DBH=30°，

∴BH=DH=2，

∴BF=BH-FH=2-=；

當點F'在BH延長線上時，同理可得HF'=，

∴BF'=BH+F'H=2+=．

綜上所述，BF的長為或．