Question

【題目】如圖，平行四邊形的頂點、在軸上，頂點在軸上，已知，，．

（1）平行四邊形的面積為________；

（2）如圖1，點是邊上的一點，若的面積是平行四邊形的，求點的坐標；

（3）如圖2，將繞點順時針旋轉，旋轉得，在整個旋轉過程中，能否使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若能，求點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）32；（2）點E的坐標為（，2）；（3）能，點A1的坐標為或或．

【解析】

（1）由題意可得AB=8，根據平行四邊形的面積公式可求得ABCD的面積；
（2）過點E作EF⊥AB，根據△ABE的面積是ABCD的，可求EF的長，根據B點，C點坐標可求直線BC的解析式，把點E的縱坐標代入可求點E的坐標；
（3）分以下三種情況討論：①四邊形OA1D1B是平行四邊形，②四邊形A1D1OB是平行四邊形，③四邊形OA1BD1是平行四邊形，過點A1作A1E⊥BA于點E．先分別畫出示意圖，利用旋轉的性質，平行四邊形的性質再結合面積法及勾股定理可分別得出點A1的坐標．

解：（1）∵OA=3，OB=5，OD=4．
∴AB=8，∴ABCD的面積=4×8=32，
故答案為：32；
（2）過點E作EF⊥AB于F，

∵S△ABE=SABCD，∴×AB×EF=×32，∴EF=2．
∵OB=5，CD=AB=8，OD=4，
∴點B（5，0），點C（8，4），
設直線BC的解析式為y=kx+b，

，解得，

∴直線BC的解析式為y=，

當y=2時，x=，
∴點E的坐標為（，2）；
（3）能使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：

∵OA=3，OD=4，∴AD=5，分以下三種情況：

①如圖，若四邊形OA1D1B是平行四邊形，A1D1交y軸于點F，

∵將△AOD繞點O順時針旋轉，旋轉得△A1OD1，
∴A1O=AO=3，OD1=OD=4，∠A1OD1=∠AOD=90°．
∵四邊形OA1D1B是平行四邊形，

∴A1D1=BO=5，A1D1∥AB，∴∠A1FO=180°-∠AOD=90°，
∴S△A1OD1=×A1O×OD1=×A1D1×OF，

∴OF=，，

∵點A1在第二象限，∴A1的坐標為；

②如圖，若四邊形A1D1OB是平行四邊形，A1D1交y軸于點F，

同①可得，，

∵點A1在第四象限，∴A1的坐標為；

③如圖，若四邊形OA1BD1是平行四邊形，過點A1作A1E⊥BA于點E，

∵OA1BD1是平行四邊形，且∠A1OD1=90°，
∴四邊形OA1BD1是矩形，∴OD1=A1B=4，∠OA1B=90°，
∵S△A1OB=×OB×A1E=×A1O×A1B，
∴A1E=，∴OE=，

∴A1的坐標為．

綜上所述，符合條件的點A1的坐標為或或．