Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A(a ,2)是直線y=x上一點，以A為圓心，2為半徑作⊙A，若P(x,y)是第一象限內⊙A上任意一點，則的最小值為（ ）

A. 1 B. C. —1 D.

Answer 1

【答案】D

【解析】分析: 如圖所示，當直線OP與圓A相切時，連接AP，過P作PH⊥x軸，此時取得最小值，利用切線的性質得到AP垂直于OP，在直角三角形AOP中，根據到角兩邊距離相等的點在角的平分線上確定出∠AOP＝30°，為tan∠30°的值，求出即可．

詳解: 如圖所示，當直線OP與圓A相切時，連接AP，過P作PH⊥x軸，此時取得最大值，

∵點A(a ,2)是直線y=x上一點，

∴a=2,

∴A(2 ,2).

∵以A為圓心，2為半徑作⊙A，

∴⊙A與y軸相切.

則當直線OP與圓A相切時， 取得最小值，

∵∠AOy=∠AOP＝30°，

∴∠AOx＝30°，

∴此時＝tan30°＝，

則的最小值為．

故選：D．

點睛:

此題考查了切線的性質，坐標與圖形性質，以及銳角三角函數定義，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．