Question

【題目】如圖1，A為⊙O的弦EF上的一點，OB是和這條弦垂直的半徑，垂足為H，BA的延長線交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線與EF的延長線相交于點D．

（1）求證：DA=DC；

（2）當DF：EF=1：8，且DF=時，求ABAC的值；

（3）將圖1中的EF所在直線往上平行移動到⊙O外，如圖2的位置，使EF與OB，延長線垂直，垂足為H，A為EF上異于H的一點，且AH小于⊙O的半徑，AB的延長線交⊙O于C，過C作⊙O的切線交EF于D．試猜想DA=DC是否仍然成立？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）24;（3）見解析．

【解析】

（1）連接過切點的半徑OC，根據等角的余角相等進行證明∠ACD=∠DAC，從而得到AD=CD；

（2）根據已知條件求得DF的長，再根據切割線定理求得CD的長．從而求得DF和EF的長，最后根據相交弦定理即可求得它們的乘積；

（3）作直徑，構造了直角三角形，也構造了弦切角所夾的弧所對的圓周角．根據等角的余角相等證明∠DAC=∠ACD，從而證明結論．

（1）連接OC，則OC⊥DC，

∴∠DCA=90°﹣∠ACO=90°﹣∠B，

∵∠DAC=∠BAE=90°﹣∠B，

∴∠DAC=∠DCA，

∴DA=DC；

（2）∵DF：EF=1：8，

∵DF=，

∴EF=8DF=8，

∵DC為⊙O的切線，

∴DC2=DFDE=×9=18，

∵DC=3，

∴AF=2，AE=6，

∴ABAC=AEAF=24；

（3）結論DA=DC仍然成立．

理由如下：延長BO交⊙O于K，連接CK，則∠KCB=90°，

∵DC為⊙O的切線，

∴∠DCA=∠CKB=90°﹣∠CBK，

∵∠CBK=∠HBA，

∴∠BAH=90°﹣∠HBA=90°﹣∠CBK，

∴∠DCA=∠BAH，

∴DA=DC．