Question

【題目】如圖，在中，，平分交于點， 于點， 過點作交于點，連接．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，， 求菱形的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由角平分線的性質可得∠ABD=∠CBD，再由垂直的定義得出∠EDB=∠CDB，然后由CF∥DE，得出∠EDB=∠CFD，最后利用菱形的判定解答即可；

（2）利用勾股定理及菱形的性質求解即可．

解：（1）證明：解：（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD,

∵∠ACB=90°,DE⊥AB,

∴DE=CD, ∠CBD+∠CDB=90°, ∠EBD+∠EDB=90°,

∴∠EDB=∠CDB, ∵CF∥DE,

∴∠EDB=∠CFD, ∴∠CDB=∠CFD,

∴CD=CF, ∴DE=CF, ∴DE=EF=FC=DC

∴ 四邊形是菱形.

（2）在RT△ADE中,，，

∴∠A=30°,AC= ,

在RT△ADE中，∵∠A=30°，∴AD=2DE,

∵四邊形是菱形, ∴DE=DC, ∴AD=2DC,

∴AC=3DC=6,∴DC=2，

∴四邊形CDEF的周長為：2×4=8.