Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，將△ACD繞C點順時針旋轉α（0°＜α＜360°）至△A'CD'位置．

（1）如圖2，若AB＝2，α＝30°，求S△BCD′．

（2）如圖3，取AA′中點O，連OB、OD′、BD′．若△OBD′存在，試判定△OBD′的形狀．

（3）當α＝α1時，OB＝OD′，則α1＝　 　°；當α＝α2時，△OBD′不存在，則α2＝　 　°．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）△OBD′是直角三角形；（3）90°或270°，240°或300°．

【解析】

（1）作D'E⊥BC于E，由直角三角形的性質得出BC=2，CE=CD'=1，D'E=，由三角形面積公式即可得出答案；
（2）連接OC，證明A、B、C、O四點共圓，由圓周角定理得出∠BOC=∠BAC=60°，同理A'、D'、C、O四點共圓，得出∠D'OC=∠D'A'C=30°，證出∠BOD'=90°即可；
（3）若B、C、D'三點不共線，證出BC=CD，這與已知相矛盾，得出B、C、D'三點共線；當α=α1時，OB=OD′，分兩種情況：當點D'在BC的延長線上和當點D'在邊BC上；當α=α2時，△OBD′不存在時，分兩種情況：當O與D'重合時，當O與B重合時，由等腰三角形的性質和等邊三角形的性質即可得出答案．

解：（1）作D'E⊥BC交BC的延長線于E，如圖2所示：

則∠E=90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AB∥CD，AD∥BC，CD=AB=2，

∴∠ACD=∠BAC，∠DAC=∠ACB=30°，

∵∠ACB=30°，

∴BC=AB=2，∠ACD=∠BAC=60°，

由旋轉的性質得：CD'=CD=2，∠ACA'=30°，

∴∠D'CE，

∴∠CD'E，

∴CE=CD'=1，D'E=CE=，

∴S△BCD′=BC×D'E=×2×=3；

（2）△OBD′是直角三角形，理由如下：

連接OC，如圖3所示：

由旋轉的性質得：CA'=CA，∠A'D'C=∠ADC=90°，∠D'A'C=∠DAC=30°，

∵O是AA′的中點，

∴OC⊥AA'，

∴∠AOC=∠A'OC==∠ABC=∠A'D'C，

∴∠ABC+∠AOC=180°，

∴A、B、C、O四點共圓，

∴∠BOC=∠BAC=60°，

同理；A'、D'、C、O四點共圓，

∴∠D'OC=∠D'A'C=30°，

∴∠BOD'=90°，

∴△BOD'是直角三角形；

（3）若B、C、D'三點不共線，如圖3所示：

由（2）得：∠OBC=∠OAC，∠OD'C=∠OA'C，∠OAC=∠OA'C，

∴∠OBC=∠OD'C，

∵OB=O D'，

∴∠OBD'=∠OD'B，

∴∠CBD'=∠CD'B，

∴CB=CD'，

∵CD'=CD，

∴BC=CD，這與已知相矛盾，

∴B、C、D'三點共線；

分兩種情況：當點D'在BC的延長線上時，如圖4所示：

∵∠ACB＝，∠A'CD'=∠ACD＝，

∴∠AC A'，

∴α=α1；

當點D'在邊BC上時，如圖5所示：

∵∠ACB＝，∠A'CD'=∠ACD＝，

∴∠AC A'＝，

∴α=α1；

故答案為：90°或270；

當α=α2時，△OBD′不存在時，分兩種情況：

當O與D'重合時，如圖6所示：

∵CA'=CA，∠CAD'=∠CA'D'=，

∴∠ACA'=120°，

∴α=α2；

當O與B重合時，如圖7所示：

則AA'=2AB=4，

∵CA=CA'=2AB=4=AA'，

∴△ACA'是等邊三角形，

∴∠A'CA=60°，

∴α=α2；

故答案為：240°或300．