Question

【題目】如圖，以△ABC的一邊AC為直徑的⊙O交AB邊于點D，E是⊙O上一點，連接DE，∠E＝∠B．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的內接正四邊形的邊長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的內接正四邊形的邊長為2．

【解析】

（1）連接CD，由AC為直徑，可得∠ADC＝90°，根據同弧所對圓周角相等可得∠E＝∠ACD，進而可以證明∠ACB＝90°，得證BC是⊙O的切線；

（2）連接OD，根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半由∠E＝45°，可得∠AOD＝90°，根據勾股定理得AD的長，AD的長即為⊙O的內接正四邊形的邊長．

解：（1）證明：連接CD，

∵AC為直徑，

∴∠ADC＝90°，

∵∠E＝∠ACD，

∠E＝∠B．

∴∠ACD＝∠B，

∴∠ACD＋∠CAD＝∠B＋∠CAD＝90°，

∴∠ACB＝90°，

∴BC是⊙O的切線；

（2）如圖，

連接OD、CE，

若∠E＝45°，

則∠AOD＝90°，

∵AC＝4，

∴OA＝OD＝2，

∴AD＝2．

∴⊙O的內接正四邊形的邊長為AD的長為2．