Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

如圖1，和均為等邊三角形，點，，在同一條直線上，連接；

探究發現

（1）善思組發現：，請你幫他們寫出推理過程；

（2）鉆研組受善思組的啟發，求出了度數，請直接寫出等于______度；

（3）奮進組在前面兩組的基礎上又探索出了與的位置關系為______（請直接寫出結果）；

拓展探究

（4）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點，，在同一條直線上，為中邊上的高，連接，試探究，，之間有怎樣的數量關系．

創新組類比善思組的發現，很快證出，進而得出．請你寫出，，之間的數量關系并幫創新組完成后續的證明過程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）60；（3）；（4），理由見解析．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得，，，利用角的和差關系可得，利用SAS可證明；

（2）由外角性質可得∠ADC=120°，根據全等三角形的性質可得∠BEC=∠ADC=120°，進而可得∠AEB的度數；

（3）由∠CDE=∠AEB=60°，即可得出CD//BE；

（4）根據等腰直角三角形的性質可得DE=2CM，根據AD=BE，AE=AD+DE即可得答案．

（1）∵和均為等邊三角形，

∴，，，

∴，即：，

在和中，

∴

（2）∵△DCE是等邊三角形，

∴∠DCE=∠DEC=60°，

∴∠ADC=∠DCE+∠DEC=120°，

由（1）得△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC=120°，

∴∠AEB=∠BEC-∠DEC=60°，

故答案為：60

（3）∵∠CDE=∠AEB=60°，

∴，

故答案為：CD//BE

（4），證明如下：

∵是等腰直角三角形，

∴，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴．