Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．連接AC、BC，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B（1，0）、C(0，

3

)，且當(dāng)x=-10和x=8時(shí)函數(shù)的值y相等．
（1）求a、b、c的值；
（2）若點(diǎn)M、N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．連接MN，將△BMN沿MN翻折，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為幾秒時(shí)，B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處？并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）上下平移該拋物線得到新的拋物線，設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，若△ODE與△OBC相似，求新拋物線的解析式．

Answer 1

（1）∵當(dāng)x=-10和x=8時(shí)函數(shù)的值y相等，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1．
由題意得：a+b+c=0，c=

3

，-

b

2a

=-1，
∴a=-

3

3

，b=-

2 3

3

，c=

3

；（3分）

（2）令y=0，則x=-3或1，∴A（-3，0），
易得AC=2

3

，BC=2，AB=4．
∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°，（1分）
∴BM=BN=PN=PM，
∴四邊形BNPM為菱形，
∴PM=BN．
設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒后點(diǎn)B在AC上，
∵PN∥AB，
∴

PN

AB

=

CN

CB

，即

t

4

=

2-t

2

，∴t=

4

3

．（1分）
∴PM=BN=

4

3

，
過(guò)P作PE⊥AB于E，
在Rt△PEM中，PE=

4

3

sin60°=

2 3

3

，
∴OM=BM-OB=

4

3

-1=

1

3

，OE=1．
∴P（-1，

2 3

3

）；

（3）設(shè)所求拋物線的解析式為y=-

3

3

（x+1）²+k．
Rt△OBC中，∠OBC=60°，
若△ODE與△OBC相似，則：
①∠DOE=60°，
Rt△ODE中，OE=1，則DE=

3

故D（-1，

3

）或（-1，-

3

）
∴平移后的拋物線解析式為：y=-

3

3

（x+1）²+

3

或y=-

3

3

（x+1）²-

3

②∠DOE=30°
Rt△ODE中，OE=1，則DE=

3

3

故D（-1，

3

3

）或（-1，-

3

3

）
∴平移后的拋物線解析式為：y=-

3

3

（x+1）²+

3

3

或y=-

3

3

（x+1）²-

3

3

綜上所述，存在符合條件的拋物線，且解析式為：
y=-

3

3

（x+1）²+

3

或y=-

3

3

（x+1）²-

3

或y=-

3

3

（x+1）²+

3

3

或y=-

3

3

（x+1）²-

3

3

．