Question

【題目】△ABC和△CDE都是等腰三角形，∠BAC＝∠EDC＝120°．

（1）如圖1，A、D、C在同一直線上時，＝_______，＝_______；

（2）在圖1的基礎上，固定△ABC，將△CDE繞C旋轉一定的角度α(0°＜α＜360°)，如圖2，連接AD、BE．

① 的值有沒有改變？請說明理由．

②拓展研究：若AB＝1，DE＝，當 B、D、E在同一直線上時，請計算線段AD的長；

Answer 1

【答案】（1），；（2）①沒有改變，理由見解析；②線段AD的長為或．

【解析】

（1）由等腰三角形的性質和直角三角形的性質可得AC＝2AH，CH＝AH，由平行線分線段成比例可得，即可求解；
（2）①通過證明△ACD∽△BCE，可得；②分兩種情況進行討論，（i）如圖，當B、D、E在同一直線上，且點D在BE中間時，過點C作CN⊥BE于N，利用直角三角形的性質和勾股定理求出BE＝，由①的結論可求解；（ii）如圖，當 B、D、E在同一直線上，且點B在ED中間時，過點B作BH⊥EC于H，利用勾股定理求出BH＝，再由①的結論可求解．

解：（1）如圖1，過點A作AH⊥BC于H，

∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BH＝CH，
∴AC＝2AH，CH＝，
∴BC＝2AH，
∵∠BAC＝∠EDC＝120°，
∴AB∥DE，
∴，
故答案為：，；

（2）①沒有改變，
理由如下：∵將△CDE繞C旋轉一定的角度α（0°＜α＜360°），
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AB＝AC，DE＝CD，
∴，且∠BAC＝∠EDC＝120°，
∴△ABC∽△DEC，
∴，且∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，

∴的值有沒有改變
②（i）如圖，當B、D、E在同一直線上，且點D在BE中間時，過點C作CN⊥BE于N，

∵AC＝AB＝1，
∴由（1）可知，BC＝，
∵∠CDE＝120°，
∴∠BDC＝60°，且CD＝DE＝，CN⊥BE，
∴DN＝CD＝，CN＝＝，

∴EC=2CN=，
∵BN＝，

∴BE＝，
∵，

∴AD＝，
（ii）如圖，當 B、D、E在同一直線上，且點B在ED中間時，過點B作BH⊥EC于H，

∵∠BEC＝30°，BH⊥EC，

∴BE=2BH，EH＝，
∵BC2＝BH2＋HC2，
∴3＝BH2＋ ，
∴BH＝，
∴BE＝

∵

∴AD＝．

綜上所述，線段AD的長為或．