Question

【題目】在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，點E為AD的中點，連接BE、BD，∠ABD＝90°．

（1）如圖l，求證：四邊形BCDE為菱形；

（2）如圖2，連接AC交BD于點F，連接EF，若AC平分∠BAD，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于△ABC面積的．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）△ABF，△AEF，△DEF，△DCF.

【解析】

（1）由題意可得DE=BC，DE∥BC，推出四邊形BCDE是平行四邊形，再證明BE=DE即可解決問題；
（2）由題意可證△BFC∽△DFA，由相似三角形的性質可得，FD=2BF，由三角形的中線性質和菱形性質可求解．

證明（1）∵AD＝2BC，E為AD的中點，

∴DE＝BC，

∵AD∥BC，

∴四邊形BCDE是平行四邊形，

∵∠ABD＝90°，AE＝DE，

∴BE＝DE，

∴四邊形BCDE是菱形．

（2）△ABF，△AEF，△DEF，△DCF，

理由如下：∵BC∥AD，

∴△BFC∽△DFA，

∴，

∴，FD＝2BF，

∴S△ABF＝S△ABC，

∵FD＝2BF

∴S△AFD＝2S△ABF，且點E是AD中點，

∴S△AEF＝S△EFD＝S△ABF＝S△ABC，

∵四邊形BEDC是菱形，

∴ED＝CD，∠BDE＝∠BDC，且DF＝DF，

∴△DEF≌△DCF（SAS），

∴S△DCF＝S△DEF＝S△ABF＝S△ABC.