Question

【題目】已知，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=3，BC=10，AD=5，M是BC邊上的任意一點，聯結DM，聯結AM．

（1）若AM平分∠BMD，求BM的長；

（2）過點A作AE⊥DM，交DM所在直線于點E．

①設BM=x，AE=y求y關于x的函數關系式；

②聯結BE，當△ABE是以AE為腰的等腰三角形時，請直接寫出BM的長．

Answer 1

【答案】（1）1或9；（2）①y=．②1或9或4．

【解析】

(1)考慮∠DMB為銳角和鈍角兩種情況即可解答；

(2) ①作MH⊥AD于H，根據勾股定理，用被開方式含x的二次根式表示DM，根據△ADM面積的兩種算法建立等式，即可求出y關于x的函數關系式；②分AB=AE和EA=EB兩種情況討論求解.

解：（1）如圖1中，作DH⊥BC于H．則四邊形ABHD是矩形，AD=BH=5，AB=DH=3．

當MA平分∠DMB時，易證∠AMB=∠AMD=∠DAM，可得DA=DM=5，

在Rt△DMH中，DM=AD=5，DH=3，

∴MH===4，

∴BM=BH-MH=1，

當AM′平分∠BM′D時，同法可證：DA=DM′，HM′=4，

∴BM′=BH+HM′=9．

綜上所述，滿足條件的BM的值為1或9．

（2）①如圖2中，作MH⊥AD于H．

在Rt△DMH中，DM==，

∵S△ADM=ADMH=DMAE，

∴5×3=y

∴y=．

②如圖3中，當AB=AE時，y=3，此時5×3=3，

解得x=1或9．

如圖4中，當EA=EB時，DE=EM，

∵AE⊥DM，

∴DA=AM=5，

在Rt△ABM中，BM==4．

綜上所述，滿足條件的BM的值為1或9或4．

故答案為：（1）1或9；（2）①y=．②1或9或4．