Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點O，與BC相交于點N，連接BM、DN．

（1）求證：四邊形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面積和對角線MN的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

在△DMO和△BNO中，

，

∴△DMO≌△BNO（ASA），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四邊形BMDN是平行四邊形，

∵MN⊥BD，

∴平行四邊形BMDN是菱形．

（2）

解：∵四邊形BMDN是菱形，

∴MB=MD，

設MD長為x，則MB=DM=x，

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2

即x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

即MD=5．

菱形BMDN的面積=MDAB=5×4=20，

∵BD= =4 ，

∵菱形BMDN的面積= BDMN=20，

∴MN=2× =2 ．

【解析】（1）根據矩形性質求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，證△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN；（2）根據菱形性質求出DM=BM，在Rt△AMB中，根據勾股定理得出BM2=AM2+AB2 ， 推出x2=x2﹣32x+256+64，求出MD，菱形BMDN的面積=MDAB，即可得出結果；菱形BMDN的面積=兩條對角線長積的一半，即可求出MN的長．