Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，△OAB如圖放置，點A的坐標為（3，4），點P是AB邊上的一點，過點P的反比例函數 與OA邊交于點E，連接OP．

（1）如圖1，若點B的坐標為（5，0），且△OPB的面積為 ，求反比例函數的解析式；
（2）如圖2，過P作PC∥OA，與OB交于點C，若 ，并且△OPC的面積為 ，求OE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，過點P作PD⊥OB于點D，

∵點B的坐標為（5，0），

△OPB的面積為 ，

∴ ×5PD= ，解得PD=1，

設直線AB的解析式為

y=ax+b（a≠0），

∵A（3，4），B（5，0），

∴ ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=﹣2x+10，

當y=1時，﹣2x+10=1，解得x= ，

∴P（ ，1），

∵點P的反比例函數y= （x＞0）上，

∴1= ，解得k= ，

∴反比例函數的解析式為：y= ；

（2）

解：如圖2中，作PN⊥OB于N，AH⊥OB于H，EM⊥OB于M．

∵PC∥OA，

∴∠PCN=∠AOH，∵∠AHO=∠PNC，

∴△AHO∽△PNC，同理△EMO∽△PNC，

∵AO：AH：OH=5：4：3，

∴PC：PN：CN=5：4：3，設點點P坐標（m，4n），則CN=3n，PC=5n，

∵△EMO∽△ONC，OE=2PC，

∴EM=8n，OM=6n，E（6n，8n）

∴6n8n=m4n，

∴m=12n，

∵S△POC= ，

∴ （12n﹣3n）4n= ，

∴n= （負根已經舍棄）．

∴點E坐標（ ， ），

∴OE= ．

【解析】（1）過點P作PD⊥OB于點D，根據點B的坐標為（5，0），且△OPB的面積為 求出PD的長，求出直線AB的解析式，故可得出P點坐標，利用待定系數法求出反比例函數的解析式即可；（2）如圖2中，作PN⊥OB于N，AH⊥OB于H，EM⊥OB于M，由△AHO∽△PNC，△EMO∽△PNC，因為AO：AH：OH=5：4：3，所以PC：PN：CN=5：4：3，設點點P坐標（m，4n），則CN=3n，PC=5n，列方程求出n，m即可解決問題．