Question

【題目】如圖，在正方形中，點、是正方形內兩點，，，為探索這個圖形的特殊性質，某數學興趣小組經歷了如下過程：

（1）在圖1中，連接，且

①求證：與互相平分；

②求證：；

（2）在圖2中，當，其它條件不變時，是否成立？若成立，請證明：若不成立，請說明理由.

（3）在圖3中，當，，時，求之長.

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）當BE≠DF時，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由詳見解析；（3）

【解析】

（1）①連接ED、BF，證明四邊形BEDF是平行四邊形，根據平行四邊形的性質證明；②根據正方形的性質、勾股定理證明；

（2）過D作DM⊥BE交BE的延長線于M，連接BD，證明四邊形EFDM是矩形，得到EM=DF，DM=EF，∠BMD=90°，根據勾股定理計算；

（3）過P作PE⊥PD，過B作BELPE于E，根據（2）的結論求出PE，結合圖形解答.

（1）證明：①連接ED、BF，

∵BE∥DF，BE＝DF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∴BD、EF互相平分；

②設BD交EF于點O，則OB＝OD＝BD，OE＝OF＝EF．

∵EF⊥BE，

∴∠BEF＝90°．

在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．

∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2．

在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2．

∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；

（2）解：當BE≠DF時，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，

理由如下：如圖2，過D作DM⊥BE交BE的延長線于M，連接BD．

∵BE∥DF，EF⊥BE，

∴EF⊥DF，

∴四邊形EFDM是矩形，

∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°，

在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2，

∴（BE+EM）2+DM2＝BD2．

即（BE+DF）2+EF2＝2AB2；

（3）解：過P作PE⊥PD，過B作BE⊥PE于E，

則由上述結論知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2．

∵∠DPB＝135°，

∴∠BPE＝45°，

∴∠PBE＝45°，

∴BE＝PE．

∴△PBE是等腰直角三角形，

∴BP＝BE，

∵BP+2PD＝4 ，

∴2BE+2PD＝4，即BE+PD＝2，

∵AB＝4，

∴（2）2+PE2＝2×42，

解得，PE＝2，

∴BE＝2，

∴PD＝2﹣2．