Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC，點D在弧BC上運動，過點D作DE∥BC，DE交AB的延長線于點E，連接AD、BD。

（1）求證：∠ADB=∠E；

（2）當AB=5，BC=6時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由AB=AC，可證∠ABC=∠C；由平行線的性質知∠ABC=∠E，結合圓周角定理可證結論成立；

（2）可通過構建直角三角形來求解，連接BO、AO，并延長AO交BC于點F，根據垂徑定理BF=CF，AF=r+OF，那么直角三角形OBF中可以用R表示出OF，OB，然后根據勾股定理求出半徑的長．

解：（1）在△ABC中，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C.

∵DE∥BC，

∴∠ABC=∠E，

∴∠E=∠C.

又∵∠ADB=∠C，

∴∠ADB=∠E；

（2）連線BO、AO，并延長AO交BC于點F，則AF⊥BC，且BF=CF=3，

又∵AB=5，

∴AF==4。

設⊙O的半徑為r，在Rt△OBF中，OF=4-r，OB=r，BF=3，

∴r2=32+（4-r）2，

解得r=，

∴⊙O的半徑是．