Question

【題目】如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，請回答下列問題：

（1）四邊形ADEF是什么四邊形？

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？

（3）當△ABC滿足什么條件時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在？

Answer 1

【答案】（1）四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

（3）當∠BAC=60°時，以A，D，E，F為頂點的四邊形不存在．

【解析】

（1）四邊形ADEF平行四邊形．根據△ABD，△EBC都是等邊三DAE角形容易得到全等條件證明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性質和平行四邊形的判定可以證明四邊形ADEF平行四邊形；

（2）若邊形ADEF是矩形，則∠FAD=90°，然后根據已知可以得到∠BAC=150°；

（3）當∠BAC=60°時，∠DAF=180°，此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F為頂點的四邊形就不存在．

（1）四邊形ADEF是平行四邊形．理由如下：

∵△ABD，△EBC都是等邊三角形，∴AD=BD=AB，BC=BE=EC，∠DBA=∠EBC=60°，∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA，∴∠DBE=∠ABC．

在△DBE和△ABC中，∵BD=BA，∠DBE=∠ABC，BE=BC，∴△DBE≌△ABC，∴DE=AC．

又∵△ACF是等邊三角形，∴AC=AF，∴DE=AF．

同理可證：AD=EF，∴四邊形ADEF平行四邊形．

（2）當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．理由如下：

∵四邊形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°，∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°，∴∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．

（3）當∠BAC=60°時，以A，D，E，F為頂點的四邊形不存在．理由如下：

若∠BAC=60°，則∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．

此時，點A、D、E、F四點共線，∴以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在．