Question

【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在拋物線上求一點P，使S△PAB=S△ABC，寫出P點的坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QBC的周長最��？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）所求P點的坐標為（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；（3）點Q的坐標是（﹣1，2）．

【解析】

（1）將A（-3，0），B（1，0）兩點代入y=-x2+bx+c，利用待定系數法求解即可求得答案；

（2）首先求得點C的坐標為（0，3），然后根據同底等高的兩個三角形面積相等，可得P點的縱坐標為±3，將y=±3分別代入拋物線的解析式，求出x的值，即可求得P點的坐標；

（3）根據兩點之間線段最短可得Q點是AC與對稱軸的交點．利用待定系數法求出直線AC的解析式，將拋物線的對稱軸方程x=-1代入求出y的值，即可得到點Q的坐標．

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵y=﹣x2﹣2x+3，

∴x=0時，y=3，

∴點C的坐標為（0，3）．

設在拋物線上存在一點P（x，y），使S△PAB=S△ABC，

則|y|=3，即y=±3．

如果y=3，那么﹣x2﹣2x+3=3，解得x=0或﹣2，

x=0時與C點重合，舍去，所以點P（﹣2，3）；

如果y=﹣3，那么﹣x2﹣2x+3=﹣3，解得x=﹣1±，

所以點P（﹣1±，﹣3）；

綜上所述，所求P點的坐標為（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；

（3）連結AC與拋物線的對稱軸交于點Q，此時△QBC的周長最�。�

設直線AC的解析式為：y=mx+n，

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴，解得：，

∴直線AC的解析式為：y=x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸是直線x=﹣1，

∴當x=﹣1時，y=﹣1+3=2，

∴點Q的坐標是（﹣1，2）．