Question

邊長為2的正方形ABCD的兩頂點A、C分別在正方形EFGH的兩邊DE、DG上(如圖1)，現將正方形ABCD繞D點順時針旋轉，當A點第一次落在DF上時停止旋轉，旋轉過程中， AB邊交DF于點M，BC邊交DG于點N.
（1）求邊DA在旋轉過程中所掃過的面積；
（2）旋轉過程中，當MN和AC平行時(如圖2)，求正方形ABCD旋轉的度數；
（3）如圖3，設△MBN的周長為p，在旋轉正方形ABCD的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論.

Answer 1

（1）；（2）；（3）不變化，證明見解析.

試題分析：（1）將正方形ABCD繞D點順時針旋轉，當A點第一次落在DF上時停止旋轉，旋轉過程中，DA旋轉了，從而根據扇形面積公式可求DA在旋轉過程中所掃過的面積.
（2）旋轉過程中，當MN和AC平行時，根據平行的性質和全等三角形的判定和性質可求正方形ABCD旋轉的度數為.
（3）延長BA交DE軸于H點，通過證明和可得結論.
（1）∵A點第一次落在DF上時停止旋轉，∴DA旋轉了.
∴DA在旋轉過程中所掃過的面積為.
（2）∵MN∥AC，∴,.
∴.∴.
又∵，∴.
又∵ ,∴.
∴.∴.
∴旋轉過程中，當MN和AC平行時，正方形ABCD旋轉的度數為 .
(3)不變化，證明如下：
如圖， 延長BA交DE軸于H點，則
，，
∴.
又∵.∴．
∴．
又∵, ,∴．
∴.∴.
∴.
∴在旋轉正方形ABCD的過程中，值無變化.