Question

【題目】定義：平面內(nèi)，如果一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)到某一點(diǎn)的距離都相等，則稱這一點(diǎn)為該四邊形的外心．

（1）下列四邊形：平行四邊形、矩形、菱形中，一定有外心的是 ；

（2）已知四邊形ABCD有外心O，且A，B，C三點(diǎn)的位置如圖1所示，請(qǐng)用尺規(guī)確定該四邊形的外心，并畫出一個(gè)滿足條件的四邊形ABCD；

（3）如圖2，已知四邊形ABCD有外心O，且BC=8，sin∠BDC=，求OC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）矩形；（2）見解析；（3）5.

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形、矩形和菱形在對(duì)角線上的性質(zhì)求解可得；

（2）連接BC、AB，作兩線段的中垂線，交于點(diǎn)O，以O為圓心、OA為半徑作圓，在上取一點(diǎn)D，順次連接即可得；

（3）作出四邊形的外接圓，連接BO，作OE⊥BC于點(diǎn)E，依據(jù)圓周角定理和圓心角定理得出∠COE＝∠BDC，由垂徑定理得CE＝BC＝4，據(jù)此利用正弦函數(shù)的定義可得答案

解：（1）∵矩形對(duì)角線相等且互相平分，

∴矩形對(duì)角線交點(diǎn)到四頂點(diǎn)的距離相等，即對(duì)角線交點(diǎn)是矩形的外心，

故答案為：矩形；

（2）如圖1，點(diǎn)O即為四邊形的外心，滿足條件的四邊形ABCD如圖所示．

（3）如圖2，作四邊形ABCD的外接圓，連接BO，作OE⊥BC于點(diǎn)E，

則∠BOC＝2∠COE，

∵∠BOC＝2∠BDC，

∴∠COE＝∠BDC，

∵BC＝8，OE⊥BC，

∴CE＝BC＝4，

∵sin∠BDC＝，

∴sin∠BDC＝sin∠COE＝，

則OC＝5．