Question

【題目】某公司生產的一種商品其售價是成本的1.5倍，當售價降低5元時商品的利潤率為25%．若不進行任何推廣年銷售量為1萬件．為了獲得更好的利益，公司準備拿出一定的資金做推廣，根據經驗，每年投入的推廣費x萬元時銷售量y（萬件）是x的二次函數：當x為1萬元時，y是1.5（萬件）．當x為2萬元時，y是1.8（萬件）．

（1）求該商品每件的的成本與售價分別是多少元？

（2）求出年利潤與年推廣費x的函數關系式；

（3）如果投入的年推廣告費為1萬到3萬元（包括1萬和3萬元），問推廣費在什么范同內，公司獲得的年利潤隨推廣費的增大而增大？

Answer 1

【答案】（1）該商品每件的的成本與售價分別是20元、30元；（2）；（3）推廣費在1萬元到2．5萬元（包括1萬元和2．5萬元）時，公司獲得的年利潤隨推廣費的增大而增大．

【解析】

（1）根據售價成本價＝利潤，成本價乘以利潤率＝利潤，列方程即可求解；

（2）根據每年投入的推廣費x萬元時銷售量y（萬件）是x的二次函數，代入所給數據即可求解；

（3）根據年利潤＝單件利潤乘以銷售量再減去推廣費即可列出二次函數，根據二次函數的性質即可確定推廣費的取值范圍．

（1）設該商品每件的的成本為a元，則售價為元1.5a元，

根據題意，得

1.5a﹣5﹣a＝25%a，

解得a＝20，則1.5a＝30，

答：該商品每件的的成本與售價分別是20元、30元．

（2）根據題意每年投入的推廣費x萬元時銷售量y（萬件）是x的二次函數，

設y＝ax2+bx+c

∵不進行任何推廣年銷售量為1萬件，即當x＝0時，y＝1（萬件），

當x為1萬元時，y是1.5（萬件）．當x為2萬元時，y是1.8（萬件）．

∴

解得

所以銷售量y與推廣費x的函數解析式為．

所以設公司獲得的年利潤為w萬元，

答：年利潤與年推廣費x的函數關系式為w＝10y＝﹣x2+6x+10．

（3）公司獲得的年利潤為w萬元，根據題意，得

w＝10y﹣x

＝10（﹣x2+x+1）﹣x

＝﹣x2+5x+10

＝﹣（x﹣）2+

∵1≤x≤3，

∴當1≤x≤2.5時，w隨x的增大而增大，

答：推廣費在1萬元到2.5萬元（包括1萬元和2.5萬元）時，公司獲得的年利潤隨推廣費的增大而增大．