Question

【題目】△ABD中，AB=BD，點C在直線BD上，BD=3CD，cos∠CAD= ，AD=6，則AC= ．

Answer 1

【答案】6或
【解析】解：分兩種情況：①如圖所示，當點C在線段BD上時，過B作BF⊥AD于F，過D作DE⊥AD交AC的延長線于E，

Rt△ADE中，cos∠CAD= = ，即 = ，

∴AE= ， 分兩種情況：①如圖所示，當點C在線段BD上時，過B作BF⊥AD于F，過D作DE⊥AD交AC的延長線于E，在Rt△ADE中根據銳角三角函數的定義得出AE的長，

∵BD=3CD，DE∥BF，

∴ = = ，

設CE=x，則CG=2x，GE=3x，

∵AB=BD，BF⊥AD，

∴AF=FD，

∴AG=GE=3x，

∴AE=6x，AC=5x，

∴AC= AE= × =6；②如圖所示，當C在BD的延長線上時，過B作BF⊥AD于F，過C作CE⊥AD交AD的延長線于E，

∵AB=BD，BF⊥AD，

∴AF=FD= AD=3，

∵CE∥BF，BD=3CD，

∴ = = ，

∴ = ，即DE=1，

∴AE=6+1=7，

∵Rt△ACE中，cos∠CAD= ，

∴ = ，即 = ，

∴AC= ．

綜上所述，AC的長為6或 ．

所以答案是：6或 ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對平行線分線段成比例的理解，了解三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．