Question

拋物線y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）與x軸交于A、B兩點，且點A在點B的左側，與y軸交于點C，OB=OC．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若點P（x₁，b）與點Q（x₂，b）在（1）中的拋物線上，且x₁＜x₂，PQ=n．
①求4x12-2x2n+6n+3的值；
②將拋物線在PQ下方的部分沿PQ翻折，拋物線的其它部分保持不變，得到一個新圖象．當這個新圖象與x軸恰好只有兩個公共點時，b的取值范圍是

-4＜b＜-2或b=0

．

Answer 1

分析：（1）先確定點C的坐標，根據OB=OC，A在點B的左側，可得出點B的坐標，將點B坐標代入可得出拋物線解析式；也可采取解法二；
（2）①由拋物線y=x²-2x-3可知對稱軸為x=1，因為點P與點Q縱坐標相等，可得出兩點關于拋物線對稱軸對稱，從而可得出x₁，x₂的表達式，變形后代入即可得出答案．
②畫出圖形，結合圖形可直接得出b的范圍．

解答：解：（1）解法一：∵拋物線y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）與y軸交于點C，
∴C（0，-3），
∵拋物線與x軸交于A、B兩點，OB=OC，
∴B（3，0）或B（-3，0），
∵點A在點B的左側，m＞0，
∴拋物線經過點B（3，0），
∴0=9m+3（m-3）-3，
∴m=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
解法二：令y=0，∴mx²+（m-3）x-3=0．∴（x+1）（mx-3）=0．
∴x=-1，x=

3

m

，
∵m＞0，點A在點B的左側，
∴A（-1，0），B（

3

m

，0），
令x=0，可得y=-3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
∵OB=OC，
∴

3

m

=3，
∴m=1，
∴y=x²-2x-3．
（2）①由拋物線y=x²-2x-3可知對稱軸為x=1，
∵點P（x₁，b）與點Q（x₂，b）在這條拋物線上，且x₁＜x₂，PQ=n，
∴x₁=1-

n

2

，x₂=1+

n

2

，
∴2x₁=2-n，2x₂=2+n，
∴原式=（2-n）²-（2+n）n+6n+3=7．
②
結合圖形可得當這個新圖象與x軸恰好只有兩個公共點時，b的取值范圍是：-4＜b＜-2或b=0．

點評：本題考查了二次函數的綜合應用，涉及了待定系數法求函數解析式、代數式求值及根與系數的關系，綜合考察的知識點較多，解答本題要求同學們熟練掌握各個知識點，并將所學知識融會貫通．