Question

如圖，已知拋物線y=mx²+nx+p與y=x²+6x+5關于y軸對稱，與y軸交于點M，與x軸交于點A和B．
（1）求出y=mx²+nx+p的解析式，試猜想出與一般形式拋物線y=ax²+bx+c關于y軸對稱的二次函數(shù)解析式（不要求證明）；
（2）若A，B的中點是點C，求sin∠CMB；
（3）如果過點M的一條直線與y=mx²+nx+p圖象相交于另一點N（a，b），a≠b且滿足a²-a+q=0，b²-b+q=0（q為常數(shù)），求點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）可先求出拋物線y=x²+6x+5的頂點坐標，然后根據(jù)兩拋物線關于y軸對稱得出所求拋物線的頂點，可用頂點式二次函數(shù)通式來設所求的拋物線的解析式，然后將兩函數(shù)與y軸的交點M的坐標代入所求的拋物線中即可得出其解析式．
兩拋物線關于y軸對稱，其開口方向，開口大小以及與y軸的交點都一樣，因此a、c的值不變，而兩函數(shù)的對稱軸關于y軸對稱，因此b值互為相反數(shù)，因此與一般形式拋物線y=ax²+bx+c關于y軸對稱的二次函數(shù)解析式為y=ax²-bx+c．
（2）本題要先求出A、B、M的坐標，過C作CD⊥BM于D，那么關鍵是求出CD和MC的長，可在直角三角形CDB中，用BC的長和∠MBA的正弦值求出CD的長，然后在直角三角形OCM中，根據(jù)勾股定理求出CM的長，據(jù)此可得出sin∠CMB的值．
（3）可設直線的解析式為y=kx+5；由于N是兩函數(shù)的交點，因此可聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，用k表示出a，b的值，由題意可知a，b為方程x²-x+q=0的兩根，根據(jù)韋達定理可知a+b=1，由此可求出k的值，然后將k的值代入表示a，b的式子中即可求出N點的坐標．

解答：解：（1）y=x²+6x+5的頂點為（-3，-4），
即y=mx²+nx+p的頂點的為（3，-4），
設y=mx²+nx+p=a（x-3）²-4，
y=x²+6x+5與y軸的交點M（0，5），
即y=mx²+nx+p與y軸的交點M（0，5）．
即a=1，
所求二次函數(shù)為y=x²-6x+5．
猜想：與一般形式拋物線y=ax²+bx+c關于y軸對稱的二次函數(shù)解析式是y=ax²-bx+c．

（2）過點C作CD⊥BM于D．
拋物線y=x²-6x+5與x軸的交點A（1，0），B（5，0），與y軸交點
M（0，5），AB中點C（3，0）．
故△MOB，△BCD是等腰直角三角形，CD=

2

2

BC=2．
在Rt△MOC中，MC=

34

．
則sin∠CMB=

CD

MC

=

17

17

．

（3）設過點M（0，5）的直線為y=kx+5

y=kx+5 y=x2-6x+5

，
解得

x1=0 y1=5

x2=k+6 y2=k2+6k+5

則a=k+6，b=k²+6k+5．
由已知a，b是方程x²-x+q=0的兩個根，
故a+b=1．
即k+6+k²+6k+5=1，化簡k²+7k+10=0，
則k₁=-2，k₂=-5．
點N的坐標是（4，-3）或（1，0）．

點評：考查一元二次方程根與系數(shù)的關系、二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱圖形、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．