Question

已知：關于x的一元二次方程mx²-（3m-2）x+2m-2=0．
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，求證：無論m取何值，拋物線y=mx²-（3m-2）x+2m-2總過x軸上的一個固定點；
（3）若m為正整數，且關于x的一元二次方程mx²-（3m-2）x+2m-2=0有兩個不相等的整數根，把拋物線y=mx²-（3m-2）x+2m-2向右平移4個單位長度，求平移后的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據關于x的一元二次方程mx²-（3m-2）x+2m-2=0有兩個不相等的實數根，得到△＞0且m≠0，代入求出即可；
（2）令y=0得，mx²-（3m+-2）x+2m-2=0，求出方程的解，其中一個是（1，0），即可得到答案；
（3）因為x=1是整數，所以只需

2m-2

m

=2-

2

m

是整數，即可求出m的值，得出拋物線的解析式為y=x²-x，根據平移的性質即可得出所求的解析式y=（x-4）²-（x-4）．

解答：（1）解：∵關于x的一元二次方程mx²-（3m-2）x+2m-2=0，
有兩個不相等的實數根，
∴△=[-（3m-2）]²-4m（2m-2）=m²-4m+4=（m-2）²＞0，
∴m≠0且m≠2，
答：m的取值范圍是m≠0且m≠2．

（2）證明：令y=0得，mx²-（3m+-2）x+2m-2=0，
∴x₁=1，x2=

2m-2

m

，
∴拋物線與x軸的交點坐標為（1，0），（

2m-2

m

，0），
∴無論m取何值，拋物線y=mx²-（3m-2）x+2m-2，
總過x軸上的定點（1，0），
即：無論m取何值，拋物線y=mx²-（3m-2）x+2m-2總過x軸上的一個固定點．

（3）解：∵x=1是整數，
∴只需

2m-2

m

=2-

2

m

是整數．
∵m是正整數，且m≠0，m≠2，
∴m=1，
當m=1時，拋物線的解析式為y=x²-x，
把它的圖象向右平移4個單位長度，即y=（x-4）²-（x-4），
∴y=x²-9x+20，
答：平移后的拋物線的解析式為y=x²-9x+20．

點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數與X軸的交點，根與系數的關系，平移的性質等知識點的理解和掌握，題型較好，難度適中．