Question

【題目】已知,點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(不與A,B重合)，分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F，Q為斜邊AB的中點。

(1)如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是___，QE與QF的數量關系是___；

(2)如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明；

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF （2）答案見解析

【解析】

（1）根據AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延長EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ=QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可．

(1)AE∥BF，QE=QF，

理由是：如圖1，∵Q為AB中點，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ=90，

在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ(AAS)，

∴QE=QF，

故答案為：AE∥BF；QE=QF.

(2)QE=QF，

證明：如圖2，延長FQ交AE于D，

∵Q為AB中點，

∴AQ=BQ,

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，

∴∠QAD=∠FBQ，

在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ(ASA)，

∴QF=QD，

∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，

∴QE=QF=QD，

即QE=QF.