Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的對稱軸和線段AB的長；

（2）如圖1，已知點D（0，﹣），點E是直線AC上訪拋物線上的一動點，求△AED的面積的最大值；

（3）如圖2，點G是線段AB上的一動點，點H在第一象限，AC∥GH，AC=GH，△ACG與△A′CG關于直線CG對稱，是否存在點G，使得△A′CH是直角三角形？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=4，拋物線的對稱軸x=﹣1；（2）m=﹣時，S△AED有最大值，最大值為；（3）滿足條件點G坐標為（﹣1，0）或（0，0）或（1，0）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；
（2）如圖1中，設E（m，﹣m2﹣m+），根據S△AED=S△AOD+S△AEO+S△ECO-S△ECD根據二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題；
（3）分三種情形①如圖2中，連接BC．當點A′在y軸上時，∠HCA′=90°滿足條件．②如圖3中，當點G與點O重合時，易證四邊形GCHA′是矩形，此時△CHA′是直角三角形；③如圖4中，當點G與B重合時，四邊形GCHA′是矩形，此時△CHA′是直角三角形.

解：（1）對于y=﹣x2﹣x+令y=0，可得﹣x2﹣x+=0，

解得x=﹣3或1，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

∴AB=4，

拋物線的對稱軸x=﹣=﹣=﹣1．

（2）如圖1中，設E（m，﹣m2﹣m+），

∵S△AED=S△AOD+S△AEO+S△ECO﹣S△ECD

=×3×+×3×（﹣m2﹣m+）+××（﹣m）﹣×2×（﹣m）

=﹣（m+）2+，

∵﹣＜0，

∴m=﹣時，S△AED有最大值，最大值為．

（3）①如圖2中，連接BC．

∵AC∥GH，AC=GH，

∴四邊形ACHG是平行四邊形，

∴CH∥AB，

當點A′在y軸上時，∠HCA′=90°滿足條件．

∵AO=3，OC=，OB=1，

∴tan∠CAO==，tan∠BCO==，

∴∠CAO=30°，∠OCB=30°，

∴∠ACO=60°，

∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，

當點A′在y軸上時，∠ACG=∠A′CG=30°，

∴OG=OCtan30°=1，

∴G（﹣1，0）．

②如圖3中，當點G與點O重合時，易證四邊形GCHA′是矩形，此時△CHA′是直角三角形；

③如圖4中，當點G與B重合時，四邊形GCHA′是矩形，此時△CHA′是直角三角形，G（1，0），

綜上所述，滿足條件點G坐標為（﹣1，0）或（0，0）或（1，0）．