Question

【題目】（1）如圖1，已知以△ABC的邊AB、AC分別向外作等腰直角△ABD與等腰直角△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，連接BE和CD相交于點O，AB交CD于點F，AC交BE于點G，求證：BE=DC，且BE⊥DC．

（2）探究：若以△ABC的邊AB、AC分別向外作等邊△ABD與等邊△ACE，連接BE和CD相交于點O，AB交CD于點F，AC交BE于G，如圖2，則BE與DC還相等嗎？若相等，請證明，若不相等，說明理由；并請求出∠BOD的度數？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BOD =60°．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質，結合題意，由全等三角形的判斷方法（SAS）得到三角形全等，再由全等三角形的性質得出答案；

（2）根據等邊三角形的性質得出AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根據SAS推出△DAC≌△BAE，根據全等三角形的性質得出∠BEA=∠ACD，求出∠BOC=∠ECO+∠OEC=∠ACE+∠AEC，代入求出即可．

（1）證明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，

∴AB=AD，AE=AC，

又∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，

在△ABE和△ADC中，

，

∴△ABE≌△ADC（SAS）,

∴BE=DC,∠ABE=∠ADC,

又∵∠BFO=∠DFA，∠ADF+∠DFA=90°,

∴∠ABE+∠BFO=90°,

∴∠BOF=∠DAF=90，

即BE⊥DC．

（2）解：結論：BE=CD．

理由：如圖2，∵以AB、AC為邊分別向外做等邊△ABD和等邊△ACE，

∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴CD=BE，∠BEA=∠ACD，

∴∠BOC=∠ECO+∠OEC

=∠DCA+∠ACE+∠OEC

=∠BEA+∠ACE+∠OEC

=∠ACE+∠AEC

=60°+60°

=120°．

∴∠BOD=180°-∠BOC=60°．