Question

【題目】已知二次函數的圖象經過點A（﹣3，6）、B（m，0）、C（3，0），并且m＜3，D為拋物線的頂點．

（1）求b，c，m的值；

（2）設點P是線段OC上一點，點O是坐標原點，且滿足∠PDC=∠BAC，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）b=﹣1，c=﹣，m=﹣1；（2）P點坐標為（，0）．

【解析】試題分析：

（1）把點A、C的坐標代入列出關于b、c的二元一次方程組，解方程組即可得到b、c的值；再把所得b、c的值和點B的坐標代入即可求得m的值；

（2）由可得拋物線頂點的坐標為D（1，-2），對稱軸為直線；設拋物線對稱軸和x軸交于點E，過點A（-3，6）作AF⊥x軸于點F，則易證△AFC和△DEC都是等腰直角三角形，從而可得∠PCD=∠ACB結合∠PDC=∠BAC，

△ABC∽△DPC，由此可解出PC的值，即可求得OP的值，從而可得點P的坐標.

試題解析：

（1）把A（﹣3，6）、C（3，0）代入解析式得： ，解得 ，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣，

當y=0，則x2﹣x﹣=0，解得，x1=3，x2=﹣1，

∵m＜3，

∴m=﹣1，

∴ b=﹣1，c=﹣，m=﹣1；

（2）由可得拋物線頂點的坐標為D（1，-2），對稱軸為直線，

設拋物線對稱軸和x軸交于點E，過點A（-3，6）作AF⊥x軸于點F，

則DE=2，DC=OC-OD=2，AF=6，FC=3-(-3)=6，

∴DE=DC，AF=FC，

∴△AFC和△DEC都是等腰直角三角形，

∴∠PCD=∠ACB=45°，AC=，DC=，

∵∠PDC=∠BAC，

∴△ABC∽△DPC，

∴，

∴BCDC=ACPC，即，

解得：PC=，則OP=，

所以P點坐標為．