Question

【題目】（1）【證法回顧】證明：三角形中位線定理．

已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．

求證：　 　．

證明：添加輔助線：如圖1，在△ABC中，延長(zhǎng)DE （D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)）到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CF；

請(qǐng)繼續(xù)完成證明過(guò)程：

（2）【問(wèn)題解決】

如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的長(zhǎng)．

（3）【拓展研究】

如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG=，DF=2，∠GEF=90°，求GF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）DE∥BC，DE=BC,證明見(jiàn)解析;（2）5; (3) ．

【解析】（1）分析：根據(jù)三角形的中位線定理填寫(xiě)即可；利用“邊角邊”證明△ADE和△CFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠ECF，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=CF，然后求出四邊形BCFD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明即可．(2)由，正方形性質(zhì)及E為AD 中點(diǎn)得出△ADE≌△CFE，由全等三角形推出，EF垂直平分GH，從而求解.(3) 過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，可證明△AEG≌△DEH，結(jié)合條件可得到△HPD為等腰直角三角形，可求得PF的長(zhǎng)，在Rt△HFP中，可求得HF，則可求得GF的長(zhǎng)．

（1）DE∥BC，DE=BC

證明：在△ADE和△CFE中， ，∴△ADE≌△CFE（SAS），

∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴CF∥AB，又∵AD=BD，∴CF=BD，

∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴DE∥BC，DE=BC．

（2）如圖2，延長(zhǎng)GE、FD交于點(diǎn)H，

∵E為AD中點(diǎn)，

∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，

在△AEG和△DEH中

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG=HD=2，EG=EH，∵∠GEF=90°，∴EF垂直平分GH，

∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，

同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=，

∵∠ADC=120°，∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°，

∴∠HDP=45°，∴△PDH為等腰直角三角形，

∴PD=PH=3，∴PF=PD+DF=3+2=5，

在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=3，PF=5，

∴HF= == ∴GF=．

點(diǎn)睛;本題考查了四邊形的綜合應(yīng)用，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理；本題考查知識(shí)點(diǎn)較多綜合性較強(qiáng)，難度較大.