Question

【題目】如圖，已知是的直徑，是的弦，弦于點，交于點，過點的直線與的延長線交于點，．

求證：是的切線；

當點在劣弧上運動時，其他條件不變，若．求證：點是的中點；

在滿足的條件下，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）連OC，由ED⊥AB得到∠FBG+∠FGB=90°，又PC=PD，則∠1=∠2，而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG，即可得到∠1+∠4=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）連OG，由BG2=BFBO，即BG：BO=BF：BG，根據三角形相似的判定定理得到△BGO∽△BFG，由其性質得到∠OGB=∠BFG=90°，然后根據垂徑定理即可得到點G是BC的中點；

（3）連OE，由ED⊥AB，根據垂徑定理得到FE=FD，而AB=10，ED=4，得到EF=2，OE=5，在Rt△OEF中利用勾股定理可計算出OF，從而得到BF，然后根據BG2=BFBO即可求出BG．

證明：連，如圖，

∵，

∴，

又∵，

∴，

而，，

∴，即，

∴是的切線；

證明：連，如圖，

∵，即，

而，

∴，

∴，

即，

∴，即點是的中點；解：連，如圖，

∵，

∴，

而，，

∴，，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴．