Question

如圖①，矩形ABCD被對角線AC分為兩個直角三角形，AB=3，BC=6．現將Rt△ADC繞點C順時針旋轉90°，點A旋轉后的位置為點E，點D旋轉后的位置為點F．以C為原點，以BC所在直線為x軸，以過點C垂直于BC的直線為y軸，建立如圖②的平面直角坐標系．

（1）求直線AE的解析式；
（2）將Rt△EFC沿x軸的負半軸平行移動，如圖③．設OC=x（0＜x≤9），Rt△EFC與Rt△ABO的重疊部分面積為s；求當x=1與x=8時，s的值；
（3）在（2）的條件下s是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質，求出A（-6，3），E（3，6）的坐標，再根據待定系數法求出一次函數解析式；
（2）①當x=1時，如圖1，重疊部分為△POC，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方進行解答；
②當x=8時，如圖2，重疊部分為梯形FQAB，根據梯形的面積公式解答．
（3）①顯然，畫圖分析，從圖中可以看出：當0＜x≤3與7.5＜x≤9時，不會出現s的最大值．
②當3＜x≤6時，由圖3可知：當x=6時，s最大．
③當6＜x≤7.5時，如圖4，表示出各三角形的面積，S△OCN=

x2

5

，S△OFM=

(x-3)2

4

，S△BCG=(x-6)2，再將s表示為S_△OCN-S_△OFM-S_△BCG，轉化為關于x的二次函數，根據二次函數的最值問題解答．

解答：解：（1）AB=3，BC=6，根據旋轉的性質可知：A（-6，3），E（3，6），
設函數解析式為y=kx+b，
把A（-6，3），E（3，6）分別代入解析式得，

-6k+b=3 3k+b=6

，
解得，

k= 1 3 b=5

，
直線AE解析式為：y=

1

3

x+5．
（2）①當x=1時，如圖1，重疊部分為△POC，

可得：Rt△POC∽Rt△BOA，
∴

s

S△AOB

=(

OC

AO

)2，
即：

s

9

=(

1

3 5

)2，
解得：S=

1

5

．
②當x=8時，如圖2，重疊部分為梯形FQAB，
可得：OF=5，BF=1，FQ=2.5，
∴S=

1

2

(FQ+AB)•BF=

1

2

(2.5+3)×1=

11

4

．
（3）解法一：

①顯然，畫圖分析，從圖中可以看出：當0＜x≤3與7.5＜x≤9時，不會出現s的最大值．
②當3＜x≤6時，由圖3可知：當x=6時，s最大．
此時，S△OBN=

36

5

，S△OMF=

9

4

，
∴S=S△OBN-S△OMF=

36

5

-

9

4

=

99

20

．
③當6＜x≤7.5時，如圖4，S△OCN=

x2

5

，S△OFM=

(x-3)2

4

，S△BCG=(x-6)2．
∴S=S_△OCN-S_△OFM-S_△BCG=

x2

5

-

(x-3)2

4

-(x-6)2，
∴S=-

21

20

x2+

27

2

x-

153

4

=-

21

20

(x-

45

7

)2+

36

7

，
∴當x=

45

7

時，S有最大值，S最大=

36

7

，
綜合得：當x=

45

7

時，存在S的最大值，S最大=

36

7

．
解法二：
同解法一③可得：S=

x2 5 (0＜x≤3) - 1 20 x2+ 3 2 x- 9 4 (3＜x≤6) - 21 20 (x- 45 7 )2+ 36 7 (6＜x＜7.5) - 1 4 x2+ 3 2 x+ 27 4 (7.5≤x≤9)

若0＜x≤3，則當x=3時，S最大，最大值為

9

5

；
若3＜x≤6，則當x=6時，S最大，最大值為

99

20

；
若6＜x＜7.5，則當x=

45

7

時，S最大，最大值為

36

7

；
若7.5≤x≤9，則當x=7.5時，S最大，最大值為

63

16

；
綜合得：當x=

45

7

時，存在S的最大值，S最大=

36

7

．

點評：本題考查了一次函數的綜合問題，涉及動點問題及二次函數的最值、三角形的面積及梯形面積的計算，綜合性較強，要認真解答．