Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2．點P、Q同時從點A出發，點P以每秒2個單位的速度沿A→B→C→D的方向運動；點Q以每秒1個單位的速度沿A→D→C的方向運動，當P、Q兩點相遇時，它們同時停止運動．設P、Q兩點運動的時間為x（秒），△APQ的面積為S（平方單位）．
（1）點P、Q從出發到相遇所用的時間是

 

秒．
（2）求S與x之間的函數關系式．
（3）當S=

7

2

時，求x的值．
（4）當△AQP為銳角三角形時，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）總路程除以總速度，就可以得到時間．
（2）根據三角形的面積公式和分段情況分別求出解析式．
（3）把S的值分別代入分段函數求出值．
（4）當2＜x＜6-2

3

為銳角三角形．

解答：解：（1）（4×2+2×2）÷（2+1）=4．

（2）當0≤x≤2時，S=

1

2

•x•2x=x²．
當2＜x≤3時，S=4×2-

1

2

×2×（x-2）-

1

2

×4×（2x-4）-

1

2

×（6-x）×（6-2x）=-x²+4x．
當3＜x≤4時，S=

1

2

×2×（12-3x）=12-3x．

（3）當0≤x≤2時，x²=

7

2

，x=±

14

2

∴x=

14

2

．
當2＜x≤3時，-x²+4x=

7

2

，∴x=2±

2

2

，∴x=2+

2

2

．
當3＜x≤4時，12-3x=

7

2

，∴x=

17

6

（舍去），∴此時不存在．

（4）當△AQP為銳角三角形時，
2＜x＜6-2

3

．

點評：本題考查了一元二次方程的應用，矩形的性質，以及函數的應用，本題關鍵知道分段來求．