Question

【題目】數學課上，同學們遇到這樣一個問題：

如圖1，已知， ，、分別是與 的角平分線，請同學們根據題中的條件提出問題，大家一起來解決（本題出現的角均小于平角）

同學們經過思考后，交流了自己的想法：

小強說：“如圖2，若與重合，且，時，可求的度數．”

小偉說：“在小強提出問題的前提條件下，將的邊從邊開始繞點逆時針

轉動，可求出的值．”

老師說：“在原題的條件下，借助射線的不同位置可得出的數量關系．”

(1)請解決小強提出的問題；

(2)在備用圖1中，補充完整的圖形，并解決小偉提出的問題

(3)在備用圖2中，補充完整的圖形，并解決老師提出的問題，即求三者之間的的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）；（3）、、180、180．

【解析】

（1）根據角平分線定義即可解決小強提出的問題；

（2）在備用圖1中，補充完整的圖形，根據角平分線定義及角的和差計算即可解決小偉提出的問題；

（3）在備用圖2中，補充完整的圖形，分四種情況討論即可解決老師提出的問題，進而求出三者之間的數量關系．

（1）如圖2，

∵∠AOB＝120，OF是∠BOC的角平分線

∴∠FOC＝∠AOB＝60

∵∠COD＝30，OE是∠AOD的角平分線

∴∠EOC＝∠COD＝15

∴∠EOF＝∠FOC∠EOC＝45

答：∠EOF的度數為45；

（2）如圖3，

∵OE、OF分別是∠AOD與∠BOC的角平分線，

∴設∠AO＝∠DOE＝∠AOD＝

∠BOF＝∠COF＝∠BOC＝

∴∠BOE＝∠AOB∠AOE＝120

∵∠BOC＝∠AOB＋∠COD∠AOD＝1502

∴∠COF＝75

∴∠DOF＝∠COF∠COD＝7530＝45°

∴∠BOE∠DOF＝（120）（（45）＝75

∵∠COE＝∠COD∠DOE＝30

∴∠EOF＝∠FOC∠COE＝（75）（30）＝45

∴＝

答：的值為；

（3）∵OE、OF分別是∠AOD與∠BOC的角平分線，

∴設∠AOE＝∠DOE＝∠AOD＝

∠BOF＝∠COF＝∠BOC

∴①如圖4，

∠AOC＝∠AOD∠COD＝2β

∵∠BOC＝∠AOB∠AOC

＝（2）

＝2＋

∴∠FOC＝∠BOC＝ ＋

∵∠COE＝∠DOE∠COD＝

∴∠EOF＝∠FOC＋∠COE

＝＋＋

＝（）．

②如圖5，

∠AOC＝∠AOD＋∠COD＝2＋

∵∠BOC＝∠AOB∠AOC

＝（2＋）

＝2

∴∠FOC＝∠BOC＝

∵∠COE＝∠DOE＋∠COD＝＋

∴∠EOF＝∠FOC＋∠COE

＝＋＋

＝（＋）．

③如圖6，

∠AOC＝∠AOD＋∠COD＝2＋

∵∠BOC＝360∠AOB∠AOC

＝360（2＋）

＝3602

∴∠FOC＝∠BOC＝180

∵∠COE＝∠DOE＋∠COD＝＋

∴∠EOF＝∠FOC＋∠COE

＝180＋＋

＝180（）．

④如圖7，

∠AOC＝∠AOD∠COD＝2

∵∠BOC＝360∠AOB∠AOC

＝360（2）

＝3602＋

∴∠FOC＝∠BOC＝180＋

∵∠COE＝∠DOE∠COD＝β

∴∠EOF＝∠FOC＋∠COE

＝180 ＋＋

＝180（＋）．

答：、β、∠EOF三者之間的數量關系為：（）、（＋）、180（）、180（＋）．