Question

【題目】如圖，點E、F分別為菱形ABCD邊AD、CD的中點.

（1）求證：BE=BF；

（2）當△BEF為等邊三角形時，求證：∠D=2∠A.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）根據菱形的性質得到AB=CB，AD=CD，∠A=∠C，再根據中點的定義得到AE=CF，根據SAS可證△BAE≌△BCF，根據全等三角形的性質得到BE=BF即可；

（2）作輔助線，先根據線段垂直平分線的逆定理證明BD是EF的垂直平分線，由等邊三角形三線合一得：EG=FG，∠EBG=∠EBF=30°，設EG=x，則BE=2x，BG=x，根據中位線定理得：AO=2EG=2x，OB=x，證明△BHO∽△BEG，列比例式可得OH= ，BH=x，再求AH=x，則AH=BH，可得∠DAB=60°，∠ADC=120°，從而得出結論．

試題解析：證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AB=BC=AD=CD．∵點E、F分別為菱形ABCD邊AD、CD的中點，∴AE=AD，CF=CD，∴AE=CF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE=BF；

（2）如圖，連接AC、BD交于點O，設BD與EF交于G，AC與BE交于H，則AC⊥BD．∵BE=BF，ED=DF，∴BD是EF的垂直平分線，∴EG=FG，∠EBG=∠EBF=30°，Rt△BEG中，設EG=x，則BE=2x，BG=x．∵EG∥AO，E為AD的中點，∴G是OD的中點，∴AO=2EG=2x，OB=x．∵OH∥GE，∴△BHO∽△BEG，∴，∴==，∴OH= ，BH=x，∴AH=AO﹣OH=2x﹣x=x，∴AH=BH，∴∠HAB=∠ABH．∵∠BHC=∠HAB+∠ABH=60°，∴∠HAB=30°，∴∠DAB=60°，∴∠ADC=120°，∴∠ADC=2∠DAB，即∠D=2∠A．