Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上一點，點D是的中點，延長AD至點E，使得AB＝BE．

（1）求證：△ACF∽△EBF；

（2）若BE＝10，tanE＝，求CF的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】

（1）由圓周角定理及等腰三角形的性質可得出∠CAF=∠E，結合對頂角相等（∠AFC=∠EFB）可證出△ACF∽△EBF；

（2）由AB為直徑可得出∠ACB=90°，利用相似三角形的性質可得出∠EBF=90°，由BE=10，tanE=結合相似三角形的性質可得出BF=，AC=3CF，在Rt△ABC中利用勾股定理可得出關于CF長度的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．

（1）證明：∵點D是的中點，

∴∠CAD＝∠BAE．

∵AB＝BE，

∴∠BAE＝∠E，

∴∠CAF＝∠E．

又∵∠AFC＝∠EFB，

∴△ACF∽△EBF；

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°．

∵△ACF∽△EBF，

∴∠EBF＝∠ACF＝90°．

∵BE＝10，tanE＝，

∴BF＝BEtanE＝．

∵∠CAF＝∠E，

∴AC＝3CF．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝BE＝10，AC＝3CF，BC＝CF+，

∴AB2＝AC2+BC2，即102＝9CF2+（CF+）2，

解得：CF＝或CF＝﹣（舍去）．

∴CF的長為．