Question

【題目】如圖，AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是OA的中點，CD⊥OA交半圓于點D，點E是的中點，連接AE、OD，過點D作DP∥AE交BA的延長線于點P．

（1）求∠AOD的度數；

（2）求證：PD是半圓O的切線．

Answer 1

【答案】（1）解：∵點C時OA的中點，∴OC=OA=OD

∵CD⊥OA，∴∠OCD=90°。

在Rt△OCD中，cos∠COD=

∴∠COD=60°，即∠AOD=60°。

（2）證明：連結OE，∵點E是的中點，

∴，

∴∠BOE=∠DOE=∠DOB=（180°-∠COD）=（180°-60°）=60°。

∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，又∠EAO+∠AEO=∠EOB=60°

∴∠EAO=30°，

∴PD∥AE，

∴∠P=∠EAO=30°。

由（1）知∠AOD=60°，∴∠PDO=180°-（∠P+∠POD）=180°-（30°+60°）=90°，

∴PD是半圓O的切線。

【解析】

試題（1）根據CO與DO的數量關系，即可得出∠CDO的度數，進而求出∠AOD的度數；

（2）利用點E是的中點，進而求出∠EAB=30°，即可得出∠AFO=90°，即可得出答案．

試題解析：（1）∵AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是OA的中點，

∴2CO=DO，∠DCO=90°，

∴∠CDO=30°，

∴∠AOD=60°；

（2）如圖，連接OE，

∵點E是的中點，

∴，

∵由（1）得∠AOD=60°，

∴∠DOB=120°，

∴∠BOE=60°，

∴∠EAB=30°，

∴∠AFO=90°，

∵DP∥AE，

∴PD⊥OD，

∴直線PD為⊙O的切線．