Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，點E為線段AD上一點，且DE＝2AE，點G是線段AB上的動點，EF⊥EG交BC所在直線于點F，連接GF．則GF的最小值是（　　）

A.3B.6C.6D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

過點F作FM⊥AD于M，證△AEG∽△MEF，設AG=x，利用相似的性質用含x的代數式表示EM的長度，在Rt△GBF中，利用勾股定理用含x的代數式表示出GF2，利用函數的性質求出其最小值，再求出GF的最小值即可．

解：如圖，過點F作FM⊥AD于M，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠A＝∠EMF＝90°，MF＝AB＝6，

∵EF⊥GE，

∴∠AGE+∠AEG＝90°，∠AEG+∠MEF＝90°，

∴∠AGE＝∠MEF，

∴△AEG∽△MFE，

∴，

設AG＝x，

∵AD＝9，DE＝2AE，

∴AE＝3，

∴，

∴ME＝2x，

∴BF＝AM＝3+2x，

在Rt△GBF中，

GF2＝GB2+BF2

＝（6﹣x）2+（3+2x）2

＝5x2+45，

∵點G在線段AB上，

∴0≤x≤6，

由二次函數的性質可知，當x＝0時，GF2有最小值45，

∴GF的最小值為3，

故選D．