Question

【題目】如圖1所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知C點坐標為（0，4），拋物線的頂點的橫坐標為，點P是第四象限內拋物線上的動點，四邊形OPAQ是平行四邊形，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求使△APC的面積為整數的P點的個數；

（3）當點P在拋物線上運動時，四邊形OPAQ可能是正方形嗎？若可能，請求出點P的坐標，若不可能，請說明理由；

（4）在點Q隨點P運動的過程中，當點Q恰好落在直線AC上時，則稱點Q為“和諧點”，如圖（2）所示，請直接寫出當Q為“和諧點”的橫坐標的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）9個 ；（3）或；（4）

【解析】

（1）拋物線與軸交于點，頂點的橫坐標為，則，即可求解；

（2）的面積，即可求解；

（3）當四邊形是正方形時，點只能在軸的下方，此時為等腰直角三角形，設點，則，即可求解；

（4）求出直線的表達式為：，則直線的表達式為：②，聯立①②求出的坐標，又四邊形是平行四邊形，則的中點即為的中點，即可求解．

解：（1）拋物線與軸交于點，頂點的橫坐標為，則，解得，

故拋物線的拋物線為：；

（2）對于，令，則或6，故點、的坐標分別為、；

如圖，過點作軸交于點，

設直線的表達式為：

由點（6，0）、（0，4）的坐標得，解得，

∴直線的表達式為：①，

設點，則點，

的面積，

當時，，當時，，

故使的面積為整數的點的個數為9個；

（3）當四邊形是正方形時，點只能在軸的下方，

此時為等腰直角三角形，設點，則，

即，解得：或4，

故點的坐標為，或；

（4）設點，為點，

設直線的表達式為：，

由點，的坐標可得，解之得：

∴直線的表達式為：，

，則和表達式中的值相同，

故直線的表達式為：②，

聯立①②得：，解得：，

則點，，

四邊形是平行四邊形，則的中點即為的中點，

如圖2，作軸于點C，軸于點D，

∴,

則有，，解得：，

經檢驗，是原分式方程得跟，

則，

故的橫坐標的值為．