Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，，，，點E為AB的中點，D為BC邊上的一動點，把△ACD沿AD折疊，點C落在點F處，當△AEF為直角三角形時，CD的長為__________．

Answer 1

【答案】2或

【解析】

本題以三角形為基礎，考查內容包含中點的用法，可立刻推邊等；動點圖形翻折問題，可得到角等以及邊等，解答本題需以題目要求直角三角形為前提，采取分類討論方法，通過構造輔助線、假設未知數并結合勾股定理求解．

（1）當∠AFE=90°時

作EM⊥BC垂足為M.，作AN⊥ME于N，如下圖所示：

∵∠C=∠EMB=90°

∴EM∥AC

∴∠C=∠CMN=∠N=90°

∴四邊形ACMN是矩形

∵AC=CM=2

∴四邊形ACMN是正方形

在RT△ABC中，∵AC=2,BC=4

∴AB= ，AE=

在RT△AFE中，∵AE= ，AF=AC=2

∴FE=1

設CD=FD=x，在RT△EDM中，∵DE=1+x，EM=1，DM=2-x

∴

∴CD=

（2）當∠AFE=90°時，如下圖所示

∵∠AFD=90°

∴F,E,D三點共線

在RT△AFE中，∵AE= ，AF=AC=2

∴EF=1

又∵DE=1

∴EF=ED

又∵EA=EB，∠AEF=∠BED

所以△AFE△BDE(SAS)

∴∠BDE=∠AFE=90°

故四邊形AFCD是矩形

又∵AF=AC

所以四邊形AFCD是正方形

∴CD=AC=2