Question

【題目】（10分）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE. 將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α.

（1）問題發現

① 當時，；② 當時，

（2）拓展探究

試判斷：當0°≤α＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.

（3）問題解決

當△EDC旋轉至A、D、E三點共線時，直接寫出線段BD的長.

Answer 1

【答案】（1）①,②.（2）無變化；理由參見解析.（3），.

【解析】

試題（1）①當α=0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．

②α=180°時，可得AB∥DE，然后根據，求出的值是多少即可．

（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據，判斷出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，進而判斷出的大小沒有變化即可．

（3）根據題意，分兩種情況：①點A，D，E所在的直線和BC平行時；②點A，D，E所在的直線和BC相交時；然后分類討論，求出線段BD的長各是多少即可．

試題解析：（1）①當α=0°時，

∵Rt△ABC中，∠B=90°，

∴AC=，

∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，

∴,BD=8÷2=4，

∴．

②如圖1，

，

當α=180°時，

可得AB∥DE，

∵，

∴

（2）如圖2，

，

當0°≤α＜360°時，的大小沒有變化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴．

（3）①如圖3，

，

∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=

∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴BD=AC=．

②如圖4，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P，

，

∵AC=，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=，

∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，

∴DE==2，

∴AE=AD-DE=8-2=6，

由（2），可得

，

∴BD=．

綜上所述，BD的長為或．