Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：
（1）如圖1，將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA,OB交于點C，D．

①比較大小：PC______PD． (選擇“>”或“<”或“=”填空）；
②證明①中的結論．
（2）將三角板的直角頂點P在射線ＯＭ上移動，一直角邊與邊OA交于點C，且OC=1，另一直角邊與直線OB，直線OA分別交于點D，E，當以P，C，E為頂點的三角形與△OCD相似時，試求的長．（提示：請先在備用圖中畫出相應的圖形，再求的長）.

Answer 1

（1）①PC=PD;②證明見解析；（2）OP=1或OP=．

試題分析：（1）①PC=PD;②過P作PH⊥OA，PN⊥OB，再證△PCH≌△PDN，即可；
（2）分兩種情況進行討論：①若PD與邊OB相交；②PD與邊OB的反向延長線相交．
試題解析：（1）①PC=PD;
②過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，得∠HPN=90°，

∴∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°,
∴∠HPC=∠NPD,
∵OM是∠AOB的平分線,
∴PH=PN.
又∵∠PHC=∠PND=90°
∴△PCH≌△PDN，
∴PC=PD;
(2)①若PD與邊OB相交

∵∠PCE＞∠DCO，∠CPE＝∠DOC=90°
∴由△PCE與△OCD相似可得∠PEC=∠DCO
∴DE=CD，而DO⊥OC，
∴OE="OC=1"
∴OP為Rt△CPE斜邊上的中線
∴OP=EC="OC=1" ;
②若PD與邊OB的反向延長線相交， 過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N， 則PH=PN

∵△PCE與△DCO相似，且∠PEC＞∠OCD，∠CPE＝∠DOC=90°
∴∠PCE=∠OCD
又∵∠PCO＋∠PEC=90°,∠PDO +∠OED =90°,
且∠PEC＝∠OED，∴∠PDO=∠PCO.
而PH=PN，∴Rt△PHC≌Rt△PND（A.A.S）.
∴HC=ND，PC=PD， ∴∠PCD= ∠PDC =45°，
∴∠PCO=∠DCO=∠PDO =22.5°
又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°,
∴∠ODP=∠OPD=22.5°
∴OP=OD,
設OP=x，則HC=OC－OH= ，
而DN=DO＋ON=OP+ON= ， ∴，  
∴，即OP=，
綜上所述，滿足條件的OP=1或OP=．